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Modélisation de formes fractales basées sur le modèle BCIFS

Les modèles itératifs sont très largement utilisés aujourd’hui en CAO. Ils permettent, avec un nombre restreint de paramètres, de représenter des formes relativement complexes par l’intermédiaire d’un algorithme qui applique un certain procédé de subdivision de manière itérative. Il existe une grande variété de tels modèles (Catmull-Clark, Doo-Sabin, etc). Nous définissons un modèle plus général, le modèle BCIFS (Boundary Controlled Iterative Function System) qui permet de représenter, dans un même formalisme, une gamme très large de modèles itératifs. Ce formalisme utilise une représentation sous la forme d’un automate dont chaque état correspond à différentes parties ou sous-parties de l’objet modélisé. Elles sont reliées entre elles par des relations de subdivision et des relations d’incidence, qui constituent les arcs de l’automate. Enfin, on établit des relations d’adjacence en introduisant une relation d’équivalence entre certains chemins de l’automate. Ce formalisme permet de spécifier certaines propriétés du modèle itératif que l’on choisit de définir. Cela concerne notamment la structure topologique de l’objet modélisé (courbe, surface, volume, ou autre…), mais également la structure de raccord des éléments adjacents (exemples : raccords sur deux points pour les B-Splines, 3 points pour les schémas de Catmull-Clark,…), ainsi que le caractère primal ou dual du schéma de subdivision. Les schémas de subdivision classiques permettent de représenter des formes lisses. Ils prennent comme paramètres un ensemble de points de contrôle, pouvant être positionnés n’importe où dans l’espace. La donnée de ces points de contrôle sert d’entrée à l’algorithme de subdivision, qui utilise des matrices prédéfinies pour calculer les nouveaux points. Contrairement à cela, dans le modèle BCIFS, les matrices de subdivision ne sont pas prédéfinies, mais sont paramétrables. Ces nouveaux paramètres peuvent être représentés graphiquement comme des points que l’on peut positionner dans l’espace, à la manière des points de contrôle. Chacun de ces points, que l’on désignera par le terme « point de subdivision », est l’image d’un point de contrôle par l’intermédiaire d’un opérateur de subdivision. Contrairement aux points de contrôle dont le positionnement contrôle l’aspect global de l’objet modélisé, la modification des points de subdivision affecte l’objet à chaque niveau de subdivision, et donc à des échelles de plus en plus petites. Les formes obtenues ne sont pas forcément lisses mais peuvent être fractales, et ceci dans le cas le plus général.

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